一道高一的数学题``

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/04 13:38:43
已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y)对一切实数x,y都成立，且f(0)不等于0，求证：f(x)是偶函数
为什么因为f(0)不等于0，所以f(0)=1？

设x=0，y=0，则f（0）+f（0）=2f（0)*f(0),因为f(0)不等于0，所以f(0)=1，再令x=0，则
f（y）+f（-y）=2*f（0）*f(y)=2*f(y),解得f（y）=f（-y），所以f(x)是偶函数

令x=y=0
f(0+0)+f(0-0)=2f(0)*f(0)
f(0)=0舍去 f(0)=1
令x=x y=-x
f(x-x)+f(x+x)=2f(x)*f(-x)
1+f(2x)=2f(x)*f(-x)
x=t时 1+f(2t)=2f(t)*f(-t)
x=-t时 1+f(-2t)=2f(-t)*f(t)
1+f(2t)=1+f(-2t)
f(2t)=f(-2t)
令t=x
f(x)=f(-x)
即f(x)是偶函数